Question

在△BDF中，BD=BF，以BD为直径的⊙O与边DF相交于点E，过E作BF的垂线，垂足为C，交BD延长线于点A．
（1）求证：AC与⊙O相切．
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

证明（1）连接OE，BE，
∵以BD为直径的⊙O与边DF相交于点E，
∴∠BED是直角，
即BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴FE=DE，
∴BO=DO，
∴OE是三角形的中位线，
∴OE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC与⊙O相切；

（2）∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
设半径OE=r，
∴
∴r₁=4，r₂=-3，（舍）
答：⊙O的半径是4．
分析：（1）连接OE，BE，由圆周角定理可知∠BED是直角，即BE⊥DF，再有等腰三角形的性质可知E为DF的中点，进而得到OE是三角形的中位线，所以OE∥BC，所以∠OEA=90°
即AC与⊙O相切．
（2）设半径OE为r，由（1）可知OE∥BC，所以△AOE∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，代入数据计算即可
点评：本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、圆的切线的判定定理以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，是中考中常见的题型．