Question

如图，△ABC中，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N，且BA•BM=BC•BN．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=4时，求AB的值．

Answer 1

（1）证明：连接MN，
∵BN是圆的直径，
∴∠BMN=90°，
∵BA•BM=BC•BN，
∴BA：BN=BC：BM，
∴△ACB∽△NMB，
∴∠ACB=∠BMN=90°，
∴AC⊥BC；

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×4=8．
分析：（1）连接MN，构造一个直角三角形．即可把证明的线段放到三角形中，根据相似三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）连接OM，根据切线的性质得到直角△COM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到MN等于圆的半径，从而发现等边三角形OMN，再根据圆周角定理得到∠B=30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求得AB的长．
点评：本题考查了切线的性质，解题的关键是连接直径构造直角三角形，连接过切点的半径都是圆中常见的辅助线．熟练运用直角三角形的性质能够发现等边三角形，进一步运用圆周角定理发现特殊的直角三角形．