Question

已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求两个正方形重叠部分的面积；
（3）若正方形A′B′C′D′绕着点O旋转，EF的长度何时最短？（直接写答案）．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC
∠COF=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF；

（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S_△BOE=S_△COF
∴S_△EOC+S_△COF=S_△EOC+S_△BOE，
即S_{四边形OECF}=S_△BOC．
∵S_△BOC=，
∴两个正方形重叠部分的面积为；

（3）解：连接EF，
∵∠EOF=90°，
∴EF²=OE²+OF²．
∵OE=OF，
∴EF²=2OE²，
∴要使EF最小，则OE最小，
∴当OE垂直于BC时，OE_最小=，
∴EF²=，
∴EF_最小=．
分析：（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；
（2）由全等可以得出S_△BOE=S_△COF，就可以得出S_{四边形OECF}=S_△BOC，S_△BOC的面积就可以得出结论； （3）运用勾股定理表示出EF的表达式，当OE垂直于BC时可以求出EF 的最小值．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等得出OE=OF是关键．