Question

数学家高斯在上学时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？
经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=

1

2

n（n+1），其中n为正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=n（1×2×3-0×1×2）
2×3=x（2×3×4-1×2×3）
3×4=n（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=20．
读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101=

343400

；（直接写出结果）
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）；（写出计算过程）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）

．

Answer 1

分析：（1）根据三个特殊等式相加的结果，代入熟记进行计算即可求解；
（2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个两个算式的运算形式，整理即可得解；
（3）根据（2）的求解规律，利用特殊等式的计算方法，先把每一个算式分解成两个算式的运算形式，整理即可得解．

解答：解：（1）∵1×2+2×3+3×4=m×3×4×5=

1

3

×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=

1

3

×100×101×102=343400；

（2）∵1×2=n（1×2×3-0×1×2）=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=x（2×3×4-1×2×3）=

1

3

（2×3×4-1×2×3），
3×4=n（3×4×5-2×3×4）=

1

3

（3×4×5-2×3×4），
…
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
∴1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=

1

3

n（n+1）（n+2）；

（3）根据（2）的计算方法，1×2×3=n（1×2×3×4-0×1×2×3）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=x（2×3×4×5-1×2×3×4）=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．
故答案为：（1）343400；（2）

1

3

n（n+1）（n+2）；（3）

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评：本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，学会把没有算式拆写成两个算式的运算形式是解题的关键．