Question

如图，已知反比函数y=的图象过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，△OAB的周长为4+8．AD=4．下列结论：

①k=-1；②AC：CB=1：3；③△OBC的面积等于3； ④k=-2，其中正确的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②
4. D.
   ③④

Answer 1

B
分析：在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB=x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，求出三角形AOB的面积，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积，进而求出三角形BOC面积，根据两三角形高相同，得到底BC与AC之比，即可做出判断．
解答：解：在Rt△AOB中，AD=4，AD为斜边OB的中线，
∴OB=2AD=8，
由周长为4+8，得到AB+AO=4，
设AB=x，则AO=4-x，
根据勾股定理得：AB²+OA²=OB²，即x²+（4-x）²=8²，
整理得：x²-4x+8=0，
解得：x₁=2+2，x₂=2-2，
∴AB=2+2，OA=2-2，
∴S_△AOB=AB•OA=×（2+2）×（2-2）=4，
过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，
∴OE=OA=-（假设OA=2-2，若OA=2+2，求出结果相同），
在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE==+，
∴k=-DE•OE=-（+）×（-）=-2，
∴S_△COA=|k|=1，S_△BCO=4-1=3，
∵△BCO与△CAO同高，且面积之比为3：1，
∴BC：AC=3：1，
则其中正确的选项有②③④．
故选B
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．