Question

我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数y=x+10表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元．试求：
（1）几月份的单月利润是108万元？
（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？

Answer 1

解：（1）由题意得：（10-0.5x）（x+10）=108，
-0.5x²+5x-8=0，
x²-10x+16=0，
（x-2）（x-8）=0，
x₁=2，x₂=8．
答：2月份和8月份单月利润都是108万元．

（2）设利润为w，则
w=（10-0.5x）（x+10）=-0.5x²+5x+100=-0.5（x-5）²+112.5，
所以当x=5时，w有最大值112.5．
答：5月份的单月利润最大，最大利润为112.5万元．
分析：（1）单月利润=每月的产量×（10-0.5×相应的月份），把相关数值代入求解即可；
（2）根据（1）得到的关系式，利用配方法可得二次函数的最值问题．
点评：考查二次函数的应用；得到单月利润的关系式是解决本题的关键．