Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x₁，x₂．
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求证：x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

；
（3）设方程

1

2

x2-7x+3=0有两个实数根x₁，x₂，利用（2）的结论，不解方程求：①x₁²+x₂²；②

1

x 2 1

+

1

x 2 2

．

Answer 1

分析：（1）由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即(

b

2a

)2，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式；
（2）由求根公式求出的两个根相加、相乘，化简后即可得证；
（3）找出原方程的a，b及c的值，计算出b²-4ac，其值大于0，故方程有两个不等的实数根，根据（2）的结论求出两根之和与两根之积，
①把原式配方后变为关于两个根相加及相乘的形式，把求出的两个之和与两根之积代入即可求出值；
②把原式通分后分子利用①求出的结果整体代入，分母变为两根之积的平方，将两根之积代入，即可求出值．

解答：解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，∴两边同时除以a得：
二次项系数化为“1”得：x²+

b

a

x+

c

a

=0
移项得：x²+

b

a

x=-

c

a

配方得：x²+2•x•

b

2a

+( 

b

2a

)2=( 

b

2a

)2-

c

a

(x+ 

b

2a

) 2=

b2-4ac

4 a2

∵a≠0，∴4a²＞0
当b²-4ac≥0时，直接开平方得：
x+

b

2a

=

±  b2-4ac

2a

∴x=

-b±  b2-4ac

2a

，
∴x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

；

（2）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），
当△≥0时，利用求根公式，得
x₁=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

，x₂=

-b

2a

-

b2-4ac

2a

．
∵x₁+x₂=

-b

2a

+

b2-4ac

2a

+

-b

2a

-

b2-4ac

2a

=-

b

a

，
x₁x₂=（

-b

2a

+

b2-4ac

2a

）•（

-b

2a

-

b2-4ac

2a

）=（

-b

2a

）²-（

b2-4ac

2a

）²=

c

a

．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是正确的；

（3）方程

1

2

x2-7x+3=0中，
∵a=

1

2

，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
则x₁+x₂=-

b

a

=-

-7

1 2

=14，x₁x₂=

c

a

=

3

1 2

=6，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
②

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

x12+x22

(x1x2) 2

=

184

142

=

184

196

=

46

49

．

点评：此题考查了利用配方法推导求根公式，由求根公式推导根与系数的关系，以及根与系数关系的运用，其中利用配方法推导求根公式是一个难点，要求学生必须掌握推导过程每一步的依据，即要搞清为什么，根与系数关系应用的前提必须是一元二次方程有解，即b²-4ac≥0，在运用根与系数关系时，往往利用配方，提取公因式，通分等方法把所求的式子化为与两根之和及两根之积有关的式子，然后把求出的两根之和与两根之积整体代入即可求出值．