Question

（附加题）工人师傅有两块板材边角料，其中一块是边长60cm的正方形板材；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板材（如下图①）．工人师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材，他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
（1）利用图②，求FC的长；
（2）如图③，若矩形的一个顶点P在线段EF上，P点到BG的距离为PN，试证明：

PN

NG

=

2

3

；
（3）利用图③，求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时，矩形PMBN的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）先求出ED、CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF与FC的比，再根据CD=60cm即可求解；
（2）先求出CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例可得

PN

NG

=

FC

CG

，然后代入数据计算即可得证；
（3）设BN为x，则NG=120-x，根据（2）的结论表示出PN的长度，然后利用矩形的面积公式列式，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：（1）解：根据题意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
∵正方形的对边平行，
∴AD∥BG，
∴

DF

FC

=

ED

CG

，
即

DF

FC

=

30

60

=

1

2

，
又∵CD=60cm，
∴FC=

2

1+2

×60=40cm；

（2）证明：∵P点到BG的距离为PN，
∴PN⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴

PN

NG

=

FC

CG

，
即

PN

NG

=

40

60

=

2

3

；

（3）解：设BN为x，则NG=120-x，
根据（2）可得，PN=

2

3

NG=

2

3

（120-x），
∴矩形PMBN的面积=BN•PN=x•

2

3

（120-x）=-

2

3

（x²-120x）=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴当x=60时，矩形PMBN的面积最大，
此时PN=

2

3

（120-x）=

2

3

（120-60）=40cm，
最大面积值是2400cm²．

点评：本题考查了直角梯形，正方形的性质，相似三角形的对应边成比例，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不是很大．