Question

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．
（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是

 

；
（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：

 

；α的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；
（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．

解答：解：（1）连接CD，OM．
根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM=∠DOM，
又∵OC=OD，
∴CD⊥OM；

（2）由（1）知∠COM=∠DOM，
∴∠COM=

90°-α

2

，
在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan

90°-α

2

；
因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．