Question

已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，
∵点C在⊙O上，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠DAC=90°．
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．

（2）解：过点O作OG⊥AB于G，
∵∠OCD=90°，CD⊥PA，
∴四边形OCDG是矩形，
∴OG=CD，GD=OC，
∵⊙O的直径为10，
∴OA=OC=5，
∴DG=5，
∵tan∠ACD=，设AD=x，CD=2x，则OG=2x，
∴AG=DG-AD=5-x，
在Rt△AGO中，由勾股定理知AG²+OG²=OA²，
∴（5-x）²+（2x）²=25，
解得x₁=2，x₂=0（舍去），
∴由垂径定理得：AB=2AG=2×（5-2）=6．
分析：（1）连接OC，求出∠DAC+∠DCA=90°，得出∠DCA+∠OCA=90°，根据切线判定推出即可；
（2）过点O作OG⊥AB于G，得出矩形GOCD，求出CD，解直角三角形和根据勾股定理求出AD，求出AG，即可求出答案．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，切线的判定，垂径定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．