Question

（2013•翔安区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连结AB．如果点P在直线y=x+1上，且点P到直线AB的距离大于或等于1，那么称点P是线段AB的“疏远点”．
（1）判断点C（

5

2

，

7

2

）是否是线段AB的“疏远点”，并说明理由；
（2）若点Q（m，n）是线段AB的“疏远点”，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，求出点C到直线AB的距离小于1，根据点P是线段AB的“疏远点”的定义可知，点P虽然在直线y=x+1上，但是点P到直线AB的距离不是大于或等于1，所以点P不是线段AB的“疏远点”；
（2）根据点Q（m，n）是线段AB的“疏远点”，可知点Q（m，n）同时满足两个条件：①在直线y=x+1上，②到直线AB的距离大于或等于1．先由点Q（m，n）在直线y=x+1上，得到n=m+1．再分两种情况进行讨论：①点Q在直线AB或其上方，即n=m+1≥3，根据点Q到直线AB的距离大于或等于1列出不等式m+1-3≥1，解此不等式求出m≥3；②点Q在直线AB下方，即n=m+1＜3，根据点Q到直线AB的距离大于或等于1列出不等式3-m-1≥1，解此不等式求出m≤1．

解答：解：（1）点C（

5

2

，

7

2

）不是线段AB的“疏远点”．理由如下：
∵

5

2

+1=

7

2

，
∴点C（

5

2

，

7

2

）在直线y=x+1上；
∵点A的纵坐标与点B的纵坐标相同，
∴AB∥轴，
∴点C（

5

2

，

7

2

）到线段AB的距离是

7

2

-3=

1

2

＜1，
∴点C（

5

2

，

7

2

）不是线段AB的“疏远点”；

（2）∵点Q（m，n）是线段AB的“疏远点”，
∴点Q（m，n）在直线y=x+1上，
∴n=m+1．
①当n=m+1≥3，即m≥2时，
∵AB∥轴，∴点Q（m，n）到线段AB的距离是n-3，
∴m+1-3≥1，解得m≥3；
②当n=m+1＜3，即m＜2时，
∵AB∥轴，∴点Q（m，n）到线段AB的距离是3-n，
∴3-m-1≥1，解得m≤1，
综上所述，m≥3或m≤1．

点评：本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，点到直线的距离，解一元一次不等式，学生的阅读理解能力和知识的迁移能力，难度适中．正确理解“疏远点”的定义是解题的关键．