Question

20．已知二次函数y=x²+mx+n的图象的顶点在第一象限内的直线y=x上，且到原点的距离为2$\sqrt{2}$，则此二次函数的解析式为y=x²-4x+6．

Answer 1

分析 先把解析式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n），再根据题意得到-$\frac{1}{2}$m=-$\frac{1}{4}$m²+n，（$\frac{1}{2}$m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+n）²=8，然后解关于m的一元二次方程即可．

解答 解：∵y=x²+mx+n=（x+$\frac{1}{2}$m）²-$\frac{1}{4}$m²+n，
∴抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n），
∵二次函数y=x²+mx+n的图象的顶点在第一象限内的直线y=x上，且到原点的距离为2$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$m=-$\frac{1}{4}$m²+n，（$\frac{1}{2}$m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+n）²=8，
∴m=±4（正值舍去），即m=-4，
∴此二次函数的解析式为y=（x-2）²+2，即y=x²-4x+6．
故答案为y=x²-4x+6．

点评 本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，难度适中．利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n）是解题的关键．