Question

如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标是（2，0），∠ABO=30°．在坐标平面内，是否存在点P（除点O外），使得△APB与△AOB全等．请写出所有符合条件的点P的坐标

（0，0）或（2，2

3

）或（-1，

3

）或（3，

3

）

．

Answer 1

分析：根据题意分为四种情况，画出图形，根据全等三角形性质和含30度角的直角三角形性质，勾股定理求出即可．

解答：解：∵点A的坐标是（2，0），∠ABO=30°，
∴OA=2，AB=2AO=4，由勾股定理得：OB=2

3

，
分为四种情况：①当P和O重合时，符合条件，此时P的坐标是（0，0）；
②
如图1，此时PB=OA=2，PA=OB=2

3

，
即P的坐标是（2，2

3

）；
③
如图2，过P作PM⊥OA于M，
则∠PAM=60°-30°=30°，
∴PM=

1

2

AP=

1

2

OB=

3

，
AM=

3

PM=3，
∴OM=3-2=1，
∴P的坐标是（-1，

3

）；
④
如图3，过P作PM⊥OA于M，
则∠PAM=180°-60°-60°=60°，
∴∠APM=30°，
∴AM=

1

2

AP=

1

2

OA=1，
∴PM=

3

AM=

3

，OM=1+2=3，
∴P的坐标是（3，

3

），
故答案为：（0，0）或（2，2

3

）或（-1，

3

）或（3，

3

）．

点评：本题考查了全等三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意要进行分类讨论啊．