Question

用两种方法解答：已知m、n是关于x的方程x²+（p-2）x+1=0两个实数根，求代数式（m²+mp+1）（n²+np+1）的值．

Answer 1

解：∵m、n是x²+（p-2）x+1=0的根，
∴m+n=2-p，mn=1．
方法一：
m²+（p-2）m+1=0，n²+（p-2）n+1=0．
即m²+pm+1=2m，n²+pn+1=2n．
原式=2m×2n=4mn=4．
方法二：
（m²+mp+1）（n²+np+1）
=（m²+mp）（n²+np）+m²+mp+n²+np+1
=m²n²+m²np+mpn²+mnp²+m²+mp+n²+np+1
=1+mp+np+p²+m²+n²+mp+np+1
=2+p²+m²+n²+2（m+n）p
=2+p²+m²+n²+2（2-p）p
=2+p²+m²+n²+4p-2p²
=2+（m+n）²-2mn+4p-2p²+p²
=2+（2-p）²-2+4p-2p²+p²
=4-4p+p²+4p-p²
=4．
分析：本题主要是利用韦达定理来计算．已知m、n是关于x的方程x²+（p-2）x+1=0两个实数根，有四个等式可供使用：m+n=2-p①，mn=1②，m²+（p-2）m+1=0③，n²+（p-2）n+1=0④．通过变形方法，合理地选择解题方法．
点评：本题主要是通过根与系数的关系来求值．注意把所求的代数式转化成m+n=2-p，mn=1的形式，正确对所求式子进行变形是解题的关键．