Question

（2012•西青区一模）已知∠AOB=45°，其内部一点P，OP=10，在∠AOB的边OA、OB上分别有点Q、R（P、Q、R三点不在同一直线上，Q、R不同于点O），则△PQR周长的最小值为

10

2

．

Answer 1

分析：设点P关于OA的对称点是E，关于OB的对称点是F，当点R、Q在EF上时，△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF，此时周长最小．

解答：解：如图，作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．
则PQ=EQ，PR=RF，
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF．
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，即△EOF是等腰直角三角形，
∴EF=

2

OP=10

2

．
∴△PQR的周长的最小值为10

2

．
故答案为：10

2

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题及等腰直角三角形的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．