Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于两点A（-4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；
（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=4-4t，由于直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2，得到E（2t-4，t），①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，根据相似三角形的性质得到结论；②当∠FEC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论；③当∠ACF=90°，根据勾股定理得到结论；
（3）求得直线BC的解析式为：y=-2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）把A（-4，0），B（1，0），点C（0，2）代入y=ax²+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$bx+2，
对称轴为：直线x=-$\frac{3}{2}$；
（2）存在，
∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4-4t，
∴D（2t-4，0），
∵直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴E（2t-4，t），
∵△EFC为直角三角形，
①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，
∴$\frac{DE}{OF}=\frac{DF}{OC}$，即$\frac{t}{4-4t}$=$\frac{2t}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{4}$，
②当∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③当∠ACF=90°，
则AC²+CF²=AF²，即（4²+2²）+[2²+（4t-4）²]=（4t）²，
解得：t=$\frac{5}{4}$，
∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=$\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$；
（3）∵B（1，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为：y=-2x+2，
当D在y轴的左侧时，S=$\frac{1}{2}$（DE+OC）•OD=$\frac{1}{2}$（t+2）•（4-2t）=-t²+4 （0＜t＜2），
当D在y轴的右侧时，如图2，
∵OD=4t-4，DE=-8t+10，
S=$\frac{1}{2}$（DE+OC）•OD=$\frac{1}{2}$（-8t+10+2）•（4t-4）=-16t²+40t-24 （2＜t＜$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法确定函数关系式，梯形的面积公式，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．