如图.在平面直角坐标系中.直线y=x-3与x轴和y轴分别交于A.B两点.经过A.B两点的抛物线与x轴的另一个交点为C．(1)求A.B两点坐标及抛物线的解析式,(2)点P是线段AB上一动点.过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.连接BM.AM．设点P的横坐标为t．①设△ABM的面积为s.求出s与t之间的函数关系式.并说明t的取值范围．②s是否存在最大值.若存在.求出s� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3与x轴和y轴分别交于A、B两点，经过A、B两点的抛物线与x轴的另一个交点为C（-1，0）．
（1）求A、B两点坐标及抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，连接BM、AM．设点P的横坐标为t．
①设△ABM的面积为s，求出s与t之间的函数关系式，并说明t的取值范围．
②s是否存在最大值，若存在，求出s的最大值．若不存在，说明理由．
③在点P运动过程中，能否使得△PBM是以点B为顶点的等腰三角形，若可以，求出P点的坐标．若不可以，说明理由．

分析（1）求出A、B两点坐标，利用两根式设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把B（0，-3）代入即可解决问题．
（2）①如图1中，设P（t，t-3）则M（t，t²-2t-3），根据s=S_△PMB+S_△PMA计算即可．
②利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题．
③如图2中，作BH⊥PM于H．因为BP=BM，BH⊥PM，推出PH=KM，由P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），根据点H的纵坐标为-3，可得方程：$\frac{t-3+{t}^{2}-2t-3}{2}$=-3，解方程即可解决问题．

解答解：（1）∵直线y=x-3与x轴和y轴分别交于A、B两点，
∴A（3，0），B（0，-3），
∵抛物线与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把B（0，-3）代入得，-3=-3a，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）①如图1中，设P（t，t-3）则M（t，t²-2t-3）．

∴PM=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t，
∴s=S_△PMB+S_△PMA=$\frac{1}{2}$•（-t²+3t）•3=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t（0＜t＜3）．

②存在．理由如下：∵s=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴t=$\frac{3}{2}$时，s有最大值，最大值=$\frac{27}{8}$．

③如图2中，作BH⊥PM于H．

∵BP=BM，BH⊥PM，
∴PH=KM，
∵P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
∴点H的纵坐标为$\frac{t-3+{t}^{2}-2t-3}{2}$=-3，
解得t=1或0（舍弃），
∴t=1时，△PBM是以点B为顶点的等腰三角形，此时P（1，-2）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

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