Question

已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
求证：（1）AE=DB；
（2）△CMN为等边三角形．

Answer 1

证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE=DB．

（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°．∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中，
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．又∠DCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．
分析：（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．