Question

如图所示，某地计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米，计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种花，每平方米投资12元；在△BHE、△FCG上都种草，每平方米投资8元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼塘，每平方米投资5元，设矩形的一边FG长为x米．
（1）用含x的式子表示矩形的一边HG的长度；
（2）为了美观，若要将爱心鱼塘建成正方形，这个鱼塘的边长是多少？
（3）当种草的面积与种花的面积相等时，求FG的长；
（4）根据设计要求HG的长度不＜FG的长度，求当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？

Answer 1

分析：（1）根据HG∥BC，判断出△AHG∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例的性质解答；
（2）根据鱼塘长宽相等列出方程解答；
（3）转化为三角形的面积，利用三角形的面积公式列出方程解答；
（4）根据改造后的总投资与矩形EFGH的面积之间的关系列出函数关系式，转化为二次函数最小值问题解答．

解答：解：（1）∵FG=x，则AK=80-x（1分）
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，
可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x．

（2）若四边形EFGH为正方形，则FG=HG，
即x=120-

3

2

x，解得x=48．
∴这个鱼塘的边长是48米时，建成正方形．

（3）∵BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．

（4）设改造后的总投资为W元，
W=

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）+

1

2

×

3

2

x•x•8+x（120-

3

2

x）•5=7.5x²-840x+57600，
∴当x=-

b

2a

=

840

2×7.5

=56时，W的值最小．
因为根据设计要求HG≥FG，即120-

3

2

x≥x，x≤48，
∴当x=48时，W_最小=7.5×48²-840×48+57600=34560．
∴当矩形EFGH的边FG长为48米时，空地改造的总投资最小，最小值为34560元．（12分）

点评：此题是一道综合性应用题，涉及三角形面积、四边形面积、二次函数最值等问题，难度较大．