Question

如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线，∠C=90°，求证：AB=AC+CD。

Answer 1

解：证一（截长法）：如图所示，过点D作DE⊥AB于E

∵AD是∠BAC的平分线，∠DCA=90°
∴DE=DC
又∵AD=AD
∴△ADE≌△ACD（HL）
∴AE=AC，CD=DE
∵∠DCA=90°，AC=BC
∴∠B=45°
在△DEB中，∵∠B=45°，∠DEB=90°
∴△EBD是等腰直角三角形
∴DE=EB
∴CD=EB
∴AC+CD=AE+EB，即AC+CD=AB；
证法二（补短法）：如图所示，在AC的延长线上截取CM=CD，连结DM

在△MCD中，∠MCD=90°，CD=CM
∴△MCD是等腰直角三角形
∴∠M=45°
又∵在等腰直角三角形中，∠B=45°
∴∠M=∠B=45°　
又∵AD平分∠CAB
∴∠BAD=∠MAD
∵AD=AD
∴△MAD≌△BAD（AAS）
∴MA=AB，即AC+CD=AB。