Question

如图，△ABC中，下面说法正确的个数是个．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①根据圆周角定理直接求出∠BOC的度数即可；
②利用内心的定义得出∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）进而求出即可；
③研究三角形面积最大值的问题，由于已知三边的和，故可以借助海伦公式建立面积关于边的函数，再利用基本不等式求最值；
④根据内心到三角形三边距离相等得出内切圆半径乘以周长等于面积，即可得出答案．
解答：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°，根据圆周角定理直接得出即可，故此选项正确；
②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=115°，故此选项正确；
③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；
由题意，三角形的周长是16，由令AB=x，则AC=10-x，
由海伦公式可得三角形的面积
S==4≤4×=12，
等号仅当8-x=x-2即x=5时成立，
故三角形的面积的最大值是12，故此选项正确；
④△ABC的面积是12，周长是16，设内切圆半径为x，则x×16=12，
解得：r=1.5，
则其内切圆的半径是1，此选项错误．
故正确的有①②③共3个．
故选：C．
点评：此题主要考查了内心的性质以及圆周角定理和由海伦公式可得三角形的面积，此题涉及知识较多，并且涉及到课外知识难度较大．