Question

如图，点C（1，0）是x轴上一点，直线PC与双曲线y=

k

x

交于点P，且∠PCB=30°，PC的垂直平分线交x轴于点B，如果BC=4．
（1）求双曲线和直线PC的解析式．
（2）设P′点是直线PC上一点，且点P′与点P关于点C对称，直接写出点P′的坐标．

Answer 1

分析：（1）过P作PE⊥x轴于E，设BE=a，求出CE=

3

a，根据垂直平分线性质和三角形的外角性质求出∠EPB=30°，推出PE=

3

BE，得出方程a+4=

3

×

3

a，求出a，即可得出P的坐标，
代入y=

k

x

即可求出反比例函数的表达式，设直线PC的解析式是y=mx+b把P、C的坐标代入得出方程组，求出m和b的值，即可得出直线PC的表达式；
（2）根据对称的性质求出P′E′=PE=2

3

，CE′=CE=5+1=6，求出OE′，即可得出P′的坐标．

解答：解：（1）如图，过P作PE⊥x轴于E，
设BE=a，
∵B在PC的垂直平分线上，
∴PB=BC=4，
∴∠PCB=∠BPC=30°，
∴∠PBE=30°+30°=60°，
∴∠EPB=30°，
∴PE=

3

BE=

3

a，
a+4=

3

PE，
∴a+4=

3

×

3

a，
解得：a=2，
OE=2+（4-1）=5，PE=

3

a=2

3

即P的坐标是（-5，2

3

），
代入y=

k

x

得：k=-10

3

，
∴反比例函数的表达式是y=-

10 3

x

，
设直线PC的解析式是y=mx+b
把P、C的坐标代入得：

0=m+b 2 3 =-5m+b

，
解得：m=-

3

3

，b=

3

3

，
∴直线PC的表达式是y=-

3

3

x+

3

3

．

（2）过P′作P′E′⊥x轴于E′，
∵根据对称的性质P′E′=PE=2

3

，CE′=CE=5+1=6，
∴OE′=6+1=7
P′的坐标是（7，-2

3

）．

点评：本题考查了对称性质、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，含30度角的直角三角形性质，解二元一次方程组等知识点，本题题型比较好，综合性比较好，有一定的难度．