Question

10．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于D，CE⊥AB于点E，交AD于点F，取BG=CD，连接FG，求证：FG∥AB．

Answer 1

分析 如图，作DH⊥AB于H，易证CE∥DH，则∠1=∠2；由AD平分∠BAC，可知CD=DH，根据等角的余角相等可知∠5=∠7，所以CD=CF，所以DH=CF；由BG=CD可知BD=GC；由根据以上条件可证△BHD≌△GFC，得到∠BHD=∠GFC=∠BEC=90°，所以FG∥AB．

解答 证明：作DH⊥AB于H，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=∠DHB=90°，
∴CE∥DH，
∴∠1=∠2，
又∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC，
∴DH=DC，∠3=∠4，
∵∠5=∠6=90°-∠3，
∠7=90°-∠4，
∴∠5=∠7，
∴CD=CF，
∴DH=CF，
∵BG=CD，
∴BG+GD=CD+GD，
即BD=GC，
在△BHD和△GFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=GC}\\{∠1=∠2}\\{DH=CF}\end{array}\right.$，
∴△BHD≌△GFC，
∴∠BHD=∠GFC=90°，
∴∠GFC=∠BEC=90°，
∴FG∥AB．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、平行线的判定与性质等知识的综合运用，作DH⊥AB于H，证明△BHD≌△GFC是整个问题的关键．