Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为10cm，AC是对角线，AG平分∠BAC，GH⊥AC于H．
（1）求证：BG=CH；
（2）求BG的长度．[计算中可能要用到]．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴GB⊥AB，
∵AG平分∠BAC，GB⊥AB，GH⊥AC，
∴BG=GH，
又∵在Rt△GHC内，∠HCG=45°，
∴GH=CH，
∴BG=CH；

（2）解：∵BG+GC=10cm，且BG=GH=HC
在Rt△GHC中，GC²=GH²+HC²，
∴GC=BG
∴BG+BG=10cm，
即BG==10-10．
分析：（1）根据角平分线性质定理可证明BG=GH，再证明三角形HGC是等腰直角三角形即可得到CH=HG，即BG=CH；
（2）由（1）可知BG=GC=HC，所以在Rt△GHC中，GC²=GH²+HC²，即BG+BG=10cm，进而求出BG的长．
点评：本题考查了正方形的性质、角平分线性质定理、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，题目的难度不大，能够很好的训练学生的解题能力．