Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．
（1）如图，求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA=x，AP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当BF=1时，求线段AP的长．

Answer 1

分析：（1）证△ADE∽△AEP，需找出两组对应相等的角．连接OD，根据切线的性质，可得出∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一个等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上两三角形的公共角∠A，即可证得两三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=

3

5

OA，AD=

4

5

OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=

16

5

x；
（3）由△PBF∽△PED和△ADE∽△AEP，得

BF

BP

=

AE

AP

；再将y=

16

5

x，BP=4-AP=4-

16

5

x代入，即可求得AP的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴

0A

CA

=

OD

CB

=

AD

AB

，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理，得AC=

AB2+BC2

=5，
∴OD=

3

5

OA，AD=

4

5

OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AD

AE

=

DE

EP

，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=

8

5

OA，
∴

AE

AP

=

AD

AE

=

4 5 OA

8 5 OA

=

1

2

，
则y=

16

5

x（0＜x≤

25

8

）；

（3）解：情况1：y=

16

5

x，BP=4-AP=4-

16

5

x，
∵△PBF∽△PED，
∴

BF

BP

=

ED

EP

，
又∵△ADE∽△AEP，
∴

ED

EP

=

AE

AP

，
∴

BF

BP

=

AE

AP

，
∴

1

4- 16 5 x

=

8 5 x

16 5 x

，
解得：x=

5

8

，
∴AP=

16

5

x=2．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间：
CF=BC-BF=3-1=2，
过点E作EG⊥BC，
则△CGE∽△CBA，
则

EG

AB

=

CG

BC

=

CE

AC

=

2

5

，
解得，EG=

8

5

，CG=

6

5

，
FG=FC-CG=2-

6

5

=

4

5

，
PB：EG=FB：FG，
PB=

8

5

÷

4

5

=2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6．

点评：本题考查了相似三角形的性质，圆的切线性质、一次函数的应用，以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．此题还是一个综合性很强的题目，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的能力．