Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．
（1）求证：BE=BF；
（2）当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形DEBF的内部是否存在一个圆O，使得⊙O与四边形DEBF的四边都相切？若存在，请求出⊙O的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
旋转可知：∠A=∠C₁，BA=BC₁，∠ABE=∠C₁BF，
在△ABE≌△C₁BF中，
．
∴△ABE≌△C₁BF．
∴BE=BF；

（2）四边形BC₁DA是菱形．
∵∠A₁=∠ABA₁=30°，∠C=∠CBC₁=30°，
∴A₁C₁∥AB，AC∥BC₁，
∴四边形BC₁DA是平行四边形．
又∵AB=BC₁，
∴四边形BC₁DA是菱形；

（3）四边形DEBF的内部存在一个内切圆．理由如下：
连接BD．
∵四边形BC₁DA是菱形，
∴AD=C₁D，A₁D=CD．
又∵∠A₁=∠C=30°，∠A₁DE=∠CDF，
∴△A₁ED≌△CFD，DE=DF．
又∵DB=DB，EB=FB，
∴△DEB≌△DFB．
∴四边形DEBF是关于DB的轴对称图形，DB是∠DEB和∠EBF的角平分线作∠DEB的角平分线交DB于点O，
∵四边形DEBF是关于DB的轴对称图形，E、F是对称点，
∴FO是∠DFB的角平分线．
∴点O就是四边形DEBF内切圆的圆心．
过E做EG⊥AB，垂足为G，在Rt△GBE中，
∵∠A=∠ABE=30°，
∴GB=AB=1，．
过O做OP⊥EB，垂足为P，则OP就是⊙O的半径．
∵∠DEB=∠A+∠EBA=60°，∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°，
∴∠OEB=30°，∠OBE=45°．
设⊙O的半径为r，
可得：BP=OP=r，EP=r
∵EB=EP+BP=r+r=，
解得：r=，
∴⊙O的半径是．
分析：（1）利用旋转不变性证得△ABE≌△C₁BF即可证得两条线段相等；
（2）利用邻边相等的平行四边形是菱形来判定菱形即可；
（3）假设存在，在四边形的内部找到一点，使得这点到四边形各边的距离相等即可．
点评：本题考查了圆的综合知识，特别是本题中涉及到的旋转问题，更是中考的热点考题，同学们大多都觉得比较难，其实解决此类问题的关键是利用好旋转不变量．