Question

如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30⁰，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是（ ▲ ）

A. ②④    B. ①③   C. ①③④   D. ①②③④                                                                              

Answer 1

C

∵ACE是等边三角形∴∠EAC=60°，AE="AC" ∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB="2BC" ∵F为AB的中点∴AB=2AF∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA ∴∠AEF=∠BAC=30°∴EF⊥AC.故①是正确的；
∵△ABC≌△EFA ∴EF="AB" ∵AB="AD" ∴AD="EF" 同理可证AE="DF"
∴ADFE是平行四边形∵F为AB的中点∴△AFD是直角三角形，AD≠DF.
因此四边形ADFE不是菱形.故②不正确；
∵ADFE是平行四边形∴AG=AF=AB∵AD=AB∴AD=4AG.故③是正确的；
∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．故④是正确的.故选C．