Question

如图，已知同一平面内，∠AOB=90゜，∠AOC=60゜．
（1）填空：∠COB=

150°或30°

； 
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60゜改成∠AOC=2α（α＜45゜），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）画出符合条件的两种情况，①当射线OC在∠AOB内部时，②当射线OC在∠AOB外部时，分别求出即可；
（2）画出符合条件的两种情况，①当射线OC在∠AOB内部，②当射线OC在∠AOB外部，求出即可；
（3）画出符合条件的两种情况，求出∠COD和∠COE的度数，即可求出答案．

解答：解：（1）分为两种情况：：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，
∠COB=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，
∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；

（2）在图3中，∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°，∠COE=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=15°+30°=45°；
在图4中，∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=

1

2

×（90°+60°）=75°，∠COE=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=75°-30°=45°；

（3）能求出∠DOE的度数．
①当OC在∠AOB内部时，如图3，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=45°-α°，∠COE=

1

2

∠AOC=α°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（45°-α°）+α°=45°；
②当OC在∠AOB外部时，如图4，
∵∠AOB=90，∠AOC=2α°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=45°+α°，∠COE=

1

2

∠AOC=α°，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=（45°+α°）-α°=45°；
综合上述，∠DOE=45°．
故答案为：150°或30°；45°．

点评：本题考查了角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力，注意一定要进行分类讨论．