Question

（2002•益阳）已知：如图，?ABCD的对角线AC的垂直平分线与AC、BC、AD别相交于O、F、E三点．求证：四边形AFCE是菱形．

Answer 1

【答案】分析：由于知道了EF垂直平分AC，因此只要证出AFCE是平行四边形即可得出AFCE是菱形的结论．可通过证三角形ABF和CED全等，来得出四边形AECF的两组对边相等进而得出四边形AECF是平行四边形，然后再根据上面所说的步骤即可得出本题的结论．
解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥FC．
∴∠OAE=∠OCF．
∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC于O，
∴平行四边形AFCE是菱形．
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．