Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=8，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O切CD于点E．
（1）若设AD=x，BC=y，试求出y与x之间的函数关系式；
（2）如图2，BE的延长线交AD的延长线于点F．求证：AD=AF；
（3）如图3，若AD=2，BC=8．动点P以每秒1个单位长的速度，从点B沿线段BC向点C运动；同时点Q以相同的速度，从点D沿折线D-A-B向点B运动．当点P到达点C时，两点同时停止运动．过点P作直线PM⊥BC与折线B-D-C的交点为M．点P运动的时间为t（秒）．点P在线段BC上运动时，是否可以使得以D、M、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请求出t的值；若不可以，请说明理由．

Answer 1

（1）解：过D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴AD和BC为⊙O的切线，
而CD为⊙O的切线，
∴DE=DA=x，CE=CB=y，
而DF=AB=8，FC=y-x，
∴（x+y）²=8²+（x-y）²，
∴y=；

（2）证明：连AE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
而DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
而∠DAE+∠F=∠DEA+∠DEF=90°，
∴∠F=∠DEF，
∴DE=DF，
∴AD=AF；

（3）解：当0＜t≤2，
∵DQ=t，BP=t，
∴当AQ=BP时，∠MQD=90°，
∴t+t=2，
∴t=1；
当2＜t≤8，
若∠QDM=90°，如图，
∴∠AQD=∠C，
∴Rt△AQD∽Rt△PCM，
∴AD：PM=AQ：PC，即AD：AQ=PM：PC，
而PM：PC=DF：FC=8：6=4：3，
∵AQ=t-2，
∴2：（t-2）=4：3，
∴t=；
若∠QMD=90°，如图，
过M作MH⊥AB，
∴∠HQM=∠C，
∴Rt△HQM∽Rt△PCM，
∴MH：MP=HQ：PC，即HM：HQ=MP：PC，
∴HM：HQ=MP：PC=DF：FC=4：3，
PC=8-t，PM=（8-t），
而MH=t，QH=BH-BQ=（8-t）-（10-t）=-t，
∴t：（-t）=4：3，
∴t=＜2，舍去．
当∠DQM=90°，如图，
过M作MH⊥AB于H点，则PM=（8-t），MN=t，AQ=t-2，
∴QH=8-（t-2）-（8-t）=t-，
∴Rt△AQD∽Rt△HMQ，
∴AD：QH=AQ：HM，即2：（t-）=（t-2）：t，
∴t²-10t+4=0，t=5±，
∴t=5+＞8（舍）．
分析：（1）过D作DF⊥BC于F，根据切线长定理得到DE=DA=x，CE=CB=y，在Rt△DFC中，利用勾股定理即可得到x，y的关系；
（2）连AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，而DA=DE，得到∠DAE=∠DEA，根据等角的余角相等得到∠F=∠DEF，则DE=EF，即可得到结论；
（3）分类讨论：当0＜t≤2，当AQ=BP时，∠MQD=90°；当2＜t≤8，分若∠QDM=90°，或∠QMD=90°，或∠DQM=90°进行讨论，构建三角形相似列出t的方程求解．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质；也考查了直角梯形的性质和切线的性质以及分类讨论思想的运用．