Question

17．如图，已知△ABC，点E在边AC上，点F在边AB上，EF∥BC，BE与CF交于点O，连接AO交EF于点G，延长AO交BC于点D，求证：BD=CD，EG=FG．

Answer 1

分析 由GE∥CD可判断△AGE∽△ADC，得到$\frac{GE}{CD}$=$\frac{AG}{AD}$，同理可得$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AG}{AD}$，则$\frac{GE}{CD}$=$\frac{FG}{BD}$，根据比例性质得$\frac{GE}{FG}$=$\frac{CD}{BD}$①，再利用GE∥BD判断△GEO∽△DBO，得到$\frac{GE}{BD}$=$\frac{OG}{OD}$，同理可得$\frac{FG}{CD}$=$\frac{OG}{OD}$，则$\frac{GE}{BD}$=$\frac{FG}{CD}$，利用比例性质得$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BD}{CD}$②，由①②易得BD=CD，接着由①得GE=FG．

解答 证明：∵GE∥CD，
∴△AGE∽△ADC，
∴$\frac{GE}{CD}$=$\frac{AG}{AD}$，
同理可得$\frac{FG}{BD}$=$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{GE}{CD}$=$\frac{FG}{BD}$，
∴$\frac{GE}{FG}$=$\frac{CD}{BD}$①，
∵GE∥BD，
∴△GEO∽△DBO，
∴$\frac{GE}{BD}$=$\frac{OG}{OD}$，
同理可得$\frac{FG}{CD}$=$\frac{OG}{OD}$，
∴$\frac{GE}{BD}$=$\frac{FG}{CD}$，
∴$\frac{EG}{FG}$=$\frac{BD}{CD}$②，
由①②得$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴BD=CD，
由①得GE=FG．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是利用平行线构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质进行计算和判断线段之间的关系．