Question

已知两直线于交Q点，A，B，C是一直线上的三个点，L，M，N是另一直线上的三个点，且QA=AB=BC，LQ=QM=MN．求证：AL，BN，CM三线共点．

Answer 1

证明：如图，连MA，LC．设BN和CM交于P．
在△QBN中，QM=MN，QA=AB，
∴MA∥BN；
在△CMA中，AB=BC，BP∥MA，
∴P在BN上，P为CM的中点；
在△CML中，LQ=QM，QA=CQ，
∴A为△CML的重心，即LA过点P．
∴BN，CM，AL三线共点．
分析：连MA，LC．设BN和CM交于P．根据中位线定理，在△QBN中，可知MA∥BN；在△CMA中，AB=BC，BP∥MA，
所以P在BN上，P为CM的中点；在△CML中，根据重心的概念和性质可证A为△CML的重心，即LA过点P．即可得证．
点评：此题考查了重心的概念和性质，同时利用了三角形的中位线定理和过一点有且只有一条直线和已知直线平行．