Question

（2012•石景山区二模）已知：抛物线y=-x²+2x+m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y=2x交于点B、C（B在右、C在左）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE=∠CFE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒

5

个单位长度、每秒2

5

个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y=-x²+2x+m-2有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将A（0，2m-7）代入解析式求出m的值即可；
（2）将y=-x²+2x+3与y=2x联立求出两图象的交点坐标，得出B点对称点B′坐标，进而得出直线B'C的解析式，再将x=1代入，求出F点坐标即可；
（3）分当M（-2t，-2t）在抛物线上时；当P（-t，-2t）在抛物线上时；分别代入求出t的值，即可得出△PMQ与抛物线y=-x²+2x+m-2有公共点时，t的取值范围．

解答：解：（1）点A（0，2m-7）代入y=-x²+2x+m-2，
m-2=2m-7，
解得：m=5
故抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图1，由

y=-x2+2x+3 y=2x

，
得

x= 3 y=2 3

，

x=- 3 y=-2 3

∴B（

3

，2

3

），C（-

3

，-2

3

）
B（

3

，2

3

），关于抛物线对称轴x=1的对称点为B′（2-

3

，2

3

），
将B′，C代入y=kx+b，得：

(2- 3 )k+b=2 3 - 3 k+b=-2 3

，
解得：

k=2 3 b=6-2 3

，
可得直线B'C的解析式为：y=2

3

x+6-2

3

，
由

y=2 3 x+6-2 3 x=1

，可得

x=1 y=6

，
故当F（1，6）使得∠BFE=∠CFE；

（3）如图2，当t秒时，P点横坐标为-t，则纵坐标为-2t，则M（-2t，-2t）在抛物线上时，可得-（-2t） ²-4t+3=-2t，整理得出：4t²+2t-3=0，
解得：t=

-1± 13

4

，
当P（-t，-2t）在抛物线上时，可得-t²-2t+3=-2t，整理得出：t²=3，
解得：t=±

3

，舍去负值，
所以若△PMQ与抛物线y=-x²+2x+m-2有公共点t的取值范围是

-1+ 13

4

≤t≤

3

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及函数交点求法和图象上点的坐标性质，根据数形结合得出解题方法是解题关键．