Question

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+2的顶点为D（1，$\frac{3}{2}$），
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线y=-x+4与抛物线交于B、C两点，求△BCD得面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的顶点坐标公式得出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{2a}=1}\\{\frac{8a-{b}^{2}}{4a}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解方程组即可；
（2）先求出B、C两点的坐标，设抛物线的对称轴与直线BC交于点E，把x=1代入y=-x+4，求出y的值，得到E点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE进行计算即可．

解答 解：∵抛物线y=ax²+bx+2的顶点为D（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-b}{2a}=1}\\{\frac{8a-{b}^{2}}{4a}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x+2；

（2）把y=-x+4代入y=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
得-x+4=$\frac{1}{2}$x²-x+2，解得x=±2，
当x=2时，y=-2+4=2；
当x=-2时，y=2+4=6，
则B（-2，6），C（2，2）．
设抛物线的对称轴与直线BC交于点E，如图．
把x=1代入y=-x+4，得y=-1+4=3，则E（1，3），
所以S_△BCD=S_△CDE+S_△BDE=

1

2

×（3-$\frac{3}{2}$）×1+

1

2

×（3-$\frac{3}{2}$）×3=3．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式；会解一元二次方程；会运用数形结合的思想解决数学问题．