Question

解方程：（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴．

Answer 1

解：∵（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴，
?[（4x+1）（x+1）][（2x+1）（3x+1）]=3x⁴，
?（1+5x+4x²）（1+5x+6x²）=3x⁴，
设t=5x²+5x+1，
则原方程转化为（t-x²）（t+x²）=3x²，
即t²=4x⁴，
∴t=2x²或t=-2x²，
当t=2x²时，即5x²+5x+1=2x²，
解得x=，
当t=-2x²时，即5x²+5x+1=-2x²，7x²+5x+1=0，
△=25-28=-3＜0，
所以此时无解．
所以（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴的解是x=．
分析：首先将原方程转化为（1+5x+4x²）（1+5x+6x²）=3x⁴．令t=5x²+5x+1，原方程用t表示为（t-x²）（t+x²）=3x²，即可解得t与x的关系．再将t=5x²+5x+1，代入所求结果，解得x即为所求的值．
点评：解决本题的关键是通过换元令t=5x²+5x+1，简化解题的过程．