Question

直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，若

a+b+c

a+c

=

4

3

，直角三角形的面积为

3

2

，则c=

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：由直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，直角三角形的面积为

3

2

，根据勾股定理与三角形面积的求解方法，可得

1

2

ab=

3

2

，a²+b²=c²，又由

a+b+c

a+c

=

4

3

，可得c=3b-a，将c=3b-a代入a²+b²=c²，即可求得b的值，继而可求得a与c．

解答：解：∵直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，直角三角形的面积为

3

2

，
∴

1

2

ab=

3

2

，
∴ab=3，
∵

a+b+c

a+c

=

4

3

，
∴3a+3b+3c=4a+4c，
即a+c=3b，
∴c=3b-a，
∵直角三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，
∴a²+b²=c²，
∴a²+b²=（3b-a）²，
即a²+b²=9b²-6ab+a²，
∴8b²=6ab=18，
∴b=

3

2

，
∴a=2，
则c=

a2+b2

=

5

2

．
故答案为：

5

2

．

点评：此题考查了勾股定理、三角形面积的求解方法以及方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到：

1

2

ab=

3

2

，a²+b²=c²，由

a+b+c

a+c

=

4

3

，得c=3b-a，然后将c=3b-a代入a²+b²=c²求得b的值．