Question

14．已知，AB∥CD，点E在BC上．
（1）如图1，若AE平分∠BAD，AE⊥DE，求证：CE=BE，AB-CD=AD；
（2）如图2，若AB=AC+CD，点E为BD中点，求证：AE⊥CE．

Answer 1

分析 （1）延长DE交AB于F，根据条件可以得出△AED≌△AEF，进而可以得出△CDE≌△BFE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
（2）延长CE交AB于点M，证明△CDE≌△MBE，得到CE=ME，BM=CD，证明△CAM为等腰三角形，即可得到AE⊥CE（等腰三角形的三线合一）．

解答 解：（1）如图1，延长DE交AB于F，

∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠FAE，
∵AE⊥DE，
∴∠AED=∠FEA=90°，
在△AED和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠FAE}\\{AE=AE}\\{∠AED=∠FEA}\end{array}\right.$
∴△AED≌△AEF，
∴DE=FE，AF=AD
∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
在△CDE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠B}\\{∠CED=∠BEF}\\{DE=FE}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△BFE，
∴CE=BE，CD=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+CD，
∴AB-CD=AD．
（2）如图2，延长CE交AB于点M，

∵点E为BD中点，
∴DE=BE，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠B，
在△CDE和△MBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{DE=BE}\\{∠DEC=∠BEM}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△MBE，
∴CE=ME，BM=CD，
∵AB=AM+BM，AB=AC+CD，
∴AC=AM，
∴△CAM为等腰三角形，
∵CE=ME，
∴点C为CM的中点，
∴AE⊥CE（等腰三角形的三线合一）．

点评 本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，解答时求证三角形全等是关键．