Question

“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=

1

x

的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=

1

3

∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=

1

3

∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．

Answer 1

分析：（1）直线OM是正比例函数，可利用所给的坐标得到M的坐标，代入函数解析式即可；
（2）根据所给的点的坐标得到Q的坐标，看是否符合（1）中的函数解析式；运用矩形的性质，作图过程中的条件，外角与不相邻内角的关系，即可得证；
（3）既然能作出锐角的三等分角，先将此钝角的一半（锐角）三等分，再作钝角的三等分角．

解答：解：（1）设直线OM的函数关系式为y=kx，P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

）．（1分）
则M（b，

1

a

），
∴k=

1

a

÷b=

1

ab

．（2分）
∴直线OM的函数关系式为y=

1

ab

x．（3分）

（2）∵Q的坐标（a，

1

b

），满足y=

1

ab

x，
∴点Q在直线OM上．
∵四边形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=

1

2

PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=

1

2

PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠MOB．（9分）
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．（10分）

（3）①先做出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半（锐角）三等分，进而做出再做一个角与已做得的角相等即可得到钝角的三等分角．
②先作钝角的邻补角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等边三角形可得钝角的三等分角，在钝角内作做出这个角即可．

点评：过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意使用作图过程中利用的条件．