Question

9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=4$\sqrt{3}$，点P在直线AC上．
（1）若BP平分∠ABC，求DP的长；
（2）若PD=BC，求∠PDA的度数；
（3）点Q在直线BC上，若以D，P，B，Q为顶点的四边形是平行四边形，问符
合要求的点Q的位置有几个？请直接写出BQ的长．

Answer 1

分析 （1）作DF⊥AC，在直角△BCP中，求得PC的长，而PF=CF-PC，则PF的长可以求得，然后在直角△DFP中利用勾股定理即可求解；
（2）作DF⊥AC，则P可以在F的左右两边，分两种情况进行讨论，与（1）的解法相同；
（3）分类讨论画出图形，不难判断Q的位置有3个，分别计算即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=4$\sqrt{3}$，∠BAC=30°
∴BC=2$\sqrt{3}$，AC=6．
如图（1），作DF⊥AC，
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=3，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC•tan30°=2，
∴PF=1，
∴DP=$\sqrt{D{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=3，∠ADF=45°
又∵PD=BC=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠PDF=$\frac{DF}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
当P点位置如图（3）所示时，
同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
（3）有3个，BQ=3或BQ=3+4$\sqrt{3}$，
如图4、图5所示，DP⊥AC时，DP∥BQ，DP=BQ，则BQ=3，
如图6所示，BD∥PQ，BD=PQ时，作DF⊥AC，
易证△DFE∽△BCE，△QCP∽△BCE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BC}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{PQ}{BE}=\frac{BD}{BE}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{CQ}{BC}=\frac{CQ}{2\sqrt{3}}$，
∴CQ=3+2$\sqrt{3}$，
∴BQ=3+4$\sqrt{3}$，
故点Q有3个，BQ=3或BQ=3+4$\sqrt{3}$．
       

点评 本题考查了解直角三角形的应用，综合性较强，难度系数较大，关键是熟练掌握好边角之间的关系．