Question

5．已知a、b、c分别是△ABC的三边，且对于函数f（x）=x³-3b²x+2c³，有f（a）=f（b）=0，则△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 将x=a，x=b分别代入f（x）=x³-3b²x+2c³，再化简，可得a=b=c，故可得三角形的形状．

解答 解：将x=a，x=b分别代入f（x）=x³-3bx²+2c²得：
a³-3ab²+2c³=0…①
b³-3b³+2c³=0…②
由②得2b³=2c³，
∴b=c，
∴a³-3ab²+2c³=a³-3ab²+2b³=a（a²-b²）-2b²（a-b）=（a-b）（a²-2b²+ab）=0，
∴a-b=0或a²-2b²+ab=0，
解a-b=0得a=b； 
解关于a的方程a²+ba-2b²=0得a=b，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形．
故答案为：等边．

点评 本题考查函数的零点，考查三角形形状的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确理解函数的零点是关键．