Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，且BC²=CD•CA，，BE交AC于F，
（1）求证：BC为⊙O切线．
（2）判断△BCF形状并证明．
（3）已知BC=15，CD=9，求tan∠ADE的值．

Answer 1

（1）证明：∵BC²=CD•CA，即BC：CA=CD：BC，
而∠C公共，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD=∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；

（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：
∵，
∴∠DAE=∠BAC，
而△CBD∽△CAB，
∴∠BAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠DAE，
而∠DAE=∠DBF，
∴∠DBF=∠CBD，
而∠BDF=90°，
∴△BCF为等腰三角形；

（3）解：∵BC²=CD•CA，BC=15，CD=9，
∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，
∴BD==12，
∴AF=25-18=7，
∴S_△ABF=•AE•BF=•AF•BD，
∴AE==，
易证Rt△AEF∽Rt△BDF，
∴EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，
∴EF=，
∴BE=15+=，
∵∠ADE=∠ABE，
∴tan∠ADE=tan∠ABE==．
分析：（1）由BC²=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；
（2）由，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；
（3）由BC²=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE==，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质．