Question

12．如图：已知y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是（-1，0）和（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线解析式，并确定其对称轴；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得
△PDC是等腰三角形？若存在，求符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法求二次函数的解析式，并利用配方法求对称轴；
（2）分两种情况：①当以CD为底边时，如图2，根据两点间距离公式PD=PC，列式计算，并根据点P在对称轴右侧，所以x应该大于1进行取舍；
②当DC为腰时，如图3，则P、C关于直线x=1对称，写出点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，把（-1，0）和（3，0）与y轴交于点C（0，3）代入y=ax²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴对称轴是直线x=1；
（2）存在，
由（1）得D（1，4），
当△PDC是等腰三角形时，分两种情况：
①当以CD为底边时，如图2，PD=PC，
设P（x，y），
则（x-1）²+（y-4）²=x²+（y-3）²，
解得：x+y=4，
∵P在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
4-x=-x²+2x+3，
x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜1（舍），
∴y=4-x=4-$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
∴P（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$），
②当DC为腰时，如图3，则P、C关于直线x=1对称，
∴P（2，3），
综上所述，点P的坐标为P（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（2，3）．

点评 本题是二次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，同时根据等腰三角形的判定分两种情况进行讨论；根据两点间距离公式列方程求解．