Question

如图，在矩形ABCD中，点M在BC上，DM=DA，AE⊥DM，垂足为E．
求证：（1）DE=MC；（2）AM平分∠BAE．

Answer 1

证明：（1）∵ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DMC，
又AE⊥DM，得到∠AED=90°，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ADE和△DMC中
，
∴△ADE≌△DMC（AAS），
∴DE=MC；

（2）∵ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，即MB⊥AB，
又AD=DM，
∴BC=DM，
由（1）可知DE=MC，
∴BC-MC=DM-DE，即BM=EM，
又DM⊥AE，MB⊥AB，
∴AM为∠BAE的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
分析：（1）要证明DE=MC，把两条边放入两个三角形中，证明两三角形全等即可，全等方法为：由ABCD为矩形，根据矩形的内角为直角且得到对边平行，由平行得到一对内错角相等，再由已知的AE⊥DM得到一个直角，从而得到一对直角相等，再由已知的DM=DA，利用AAS即可得到三角形ADE与三角形DMC全等，根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）根据矩形的对边相等得到AD=BC，由已知的AD=DM，利用等量代换得到DM=BC，由（1）证明的DE=CM，利用等式的基本性质得到MB=ME，又MB垂直于AD，ME垂直于AE，根据角平分线定理的逆定理可得证．
点评：此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的逆定理，第一问要证明两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，一般根据等角对等边来证；若这两条线段可放在两个三角形中，一般利用全等来证明，第二问利用线段的加减，及等量代换的方法得到点M到∠BAE的两边的距离相等，从而利用角平分线逆定理解决问题．