Question

数学活动---求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．

（1）独立思考：请回答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是______．
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定点G为AC的中点，从而△ADC为等腰三角形，其底边AC=8，底边上的高GD=BC=3，从而面积可求；
（2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）①对于爱心小组提出的问题，如答图4所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解；
②本问要求考生自行提出问题，答案不唯一，属于开放性问题．
解答：解：（1）【独立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DA=DB，∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，∴G是AC的中点，
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3，
∴S_△DGC=CG•DG=×4×3=6．

（2）【合作交流】
解法一：如下图所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB===10，
∵D是AB中点，∴AD=AB=5．
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴，即，解得DH=，
∴S_△DGH=S_△ADH=××DH•AD=××5=．
解法二：同解法一，G是AH的中点．
连接BH，∵DE⊥AB，D是AB中点，

∴AH=BH．设AH=x，则CH=8-x．
在Rt△BCH中，CH²+BC²=BH²
即：（8-x）²+36=x²，解得x=．
∴S_△ABH=AH•BC=××6=．
∴S_△DGH=S_△ADH=×S_△ABH=×=．
解法三：同解法一，∠1=∠2．
连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
过点D作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N．

∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，
∴DM=BC=×6=3．
在Rt△ABC中，AB===10，AC•BC=AB•CN，
∴CN===．
∵△DGH∽△BDC，
∴，
∴S_△DGH=•S_△BDC=•BD•CN
∴S_△DGH=××5×=．

（3）【提出问题】
①解决“爱心”小组提出的问题．
如答图4，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=BC=3．

∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴，即，得KN=．
设DM=MN=x，则MK=x-．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-）²+3²=x²，解得x=，
∴S_△DMN=MN•DK=××3=．
②此题答案不唯一，示例：如答图5，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交BC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积．

点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点．题干信息量大，篇幅较长，需要认真读题，弄清题意与作答要求．试题以图形旋转为背景，在旋转过程中，重叠图形的形状与面积不断发生变化，需要灵活运用多种知识予以解决，有利于培养同学们的研究与探索精神，激发学习数学的兴趣，是一道好题．