Question

9．如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACEG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确的结论是①②③④．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线．

解答 解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
即∠CAE=∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠CAE=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BG⊥CE，（故②正确）；
如图，过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，

∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EAP}\\{∠AHB=∠P=9{0}^{°}}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，（故④正确），
EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠MQG=90°}\\{∠EMP=∠GMQ}\\{EP=GQ}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．