Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N，当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x。
（1）求△DEF的边长；
（2）求M点、N点在BA上的移动速度；
（3）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE·EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出它的定义域；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

Answer 1

解：（1）当F点与C点重合时，如图1所示： ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DFE=60°， ∵∠B=30°， ∴∠BDF=90°， ∴FD=BC=3； （2）过E点作EG⊥AB， ∵∠DEF=60°，∠B=30°， ∴∠BME=30°， ∴EB=EM， 在Rt△EBG中，BG=x×cos30°=x， ∴BM=2BG=x， ∴M点在BA上的移动速度为，F点作FH⊥F1D1， 在Rt△FF1H中，FH=x×cos30°=x， 点N在BA上的移动速度为； （3）在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=（3-x）， 当P点运动到M点时，有2x+x=3， ∴x=1 ①当P点在DM之间运动时，过P点作PP1⊥AB，垂足为P1在Rt△PMP1中，PM=3-x-2x=3-3x， ∴PP1=（3-3x）=（1-x）， ∴y与x的函数关系式为：y=（0≤x≤1）， ②当P点在ME之间运动时，过P点作PP2⊥AB，垂足为P2， 在Rt△PMP2中，PM=x-（3-2x）=3（x-1）， ∴PP1=（1-x）， ∴y与x的函数关系式为：， ③当P点在EF之间运动时，过P点作PP3⊥AB，垂足为P3， 在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1）， ∴PP3=（x-1）， ∴y与x的函数关系式为：， ∴y=， ∴当x=2时，y最大=，而当P点在D点时，， ∵， ∴当P点在D点时，△PMN的面积最大。