Question

在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O为△ABC的外接圆，P为上任一点，则四边形OABP的周长的最大值________cm．

1. A.
   20
2. B.
   
3. C.
   25
4. D.
   不能确定

Answer 1

B
分析：四过边形OABP的周长为OA+AB+BP+OP，在这四条线段中OA、OC是半径是定值，AB是定值5，故周长要想最大，则BP的值最大，其位置应在点C处，即求得BC的长为BP的最大值．过点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC，先根据直角三角形ABD求出BD的长，再根据直角三角形BDC求出BC的长，根据圆周角和圆心角之间的关系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半径的长，从而求得四边形的最大周长．
解答：解：过点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°•AB=（cm），
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BD=5（cm），
∵∠BOC=2∠A=90°，
∴OB=OC=5cm，
∵OA，AB，OP是定值，
∴当点P在点C的位置时，四边形OABP的周长最大为：5+5+5+5=（15+5）cm．
故选B．
点评：此题考查了圆周角定理．此题难度较大，解题的关键是找到不变的量和变化的量，通过确定变量的最值来确定周长的最值．