Question

9、能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．

Answer 1

分析：根据偶数的平方和为偶数，奇数得平方和为奇数，即可讨论这四个数的奇偶性，再讨论三个奇数的性质，即可求得其中结论矛盾，即可求得不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数，即可解题．

解答：解：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，即正整数的平方被4除余0或1．
若存在正整数满足n_in_j+2002=m²；i，j=1，2，3，4，n是正整数；
∵2002被4除余2，
∴n_in_j被4除应余2或3．
（1）若正整数n₁，n₂，n₃，n₄中有两个是偶数，
设n₁，n₂是偶数，则n₁n₂+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，
故正整数n₁，n₂，n₃，n₄中至多有-个是偶数，至少有三个是奇数．
（2）在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，
根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，
则它们的乘积被4除余1，与n_in_j被4除余2或3的结论矛盾．
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．

点评：本题考查了奇数、偶数的性质，考查了完全平方数的性质，本题中讨论四个数的奇偶性是解题的关键．