Question

如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD。

（1）试说明DE=BC；
（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由

Answer 1

解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD=BC，AB∥DC
所以∠BAE=∠DEA
因为AE平分∠BAD
所以∠BAE=∠DAE
所以∠DEA=∠DAE
所以AD=DE
所以DE=BC；
（2）

AB=DG+FC
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC
所以∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则 ∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
因为∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°
所以F，B，H三点共线
所以BF+HB=BF+FC
从而FH=BC=AD=DF=AH
所以四边形AHFD为正方形
所以∠ADF=90°，AH∥DF
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90° 所以∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°
所以I，H，B三点共线
因为AE平分∠BAD，
所以∠BAG=∠DAG
所以∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI
即∠HAG=∠IAB
因为AH∥DF，
所以∠HAG=∠DGA
所以∠BIA=∠DGA=∠BAI
所以AB=IB
因为IB=IH+HB=DG+FC
所以AB=DG+FC。