Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，求的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE．
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE．
∴∠DAE=∠DCE．

（2）．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠DCB=90°
∴∠DAE=∠G．
∴∠DCE=∠G．
∵CG=CE，
∴∠1=∠G．
∴∠DCE=∠1．
∴CF=EF．
∵∠2=∠1+∠DCE=2∠1=2∠G，
又∵∠DCG=180°-∠DCB=90°，
∴∠G=30°，
∴．
∴．

（3）解：设CF=x，则EF=CF=x，FG=2CF=2x．
在Rt△CFG中，．
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE=CG=．
∴AF=AE+EF=．
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴．
分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，又知DE为公共边，可以推出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性质得到∠DAE=∠DCE．
（2）根据正方形的性质及CG=CE，证出CF=EF，再求出∠G=30°，判断出CF=FG，从而得到．
（3）设CF=x，则EF=CF=x，FG=2CF=2x，利用△ADE≌△CDE，得到AE=CE=CG=，AF=AE+EF=，由于△ADF∽△GCF，利用相似三角形的性质求出
的值．
点评：本题考查了相似三角形的性质、全等三角形的性质、正方形的性质，综合性较强，要从图中找到相关的量，注意挖掘隐含条件．